Sucesión de Fibonacci. Los números de Fibonacci

1. ¿Qué es?

2. La sucesión de Fibonacci es una sucesión de números que comienza con los números 0 y 1,​ y a partir de estos, cada término es la suma de los dos anteriores. Dicha secuencia quedaría definida por la ecuación: 
3. 
   
4. 𝑓𝑛= 𝑓𝑛−1+𝑓𝑛−2 
5. 
   
6. partiendo de dos primeros predeterminados: 
7. 
   
8. 𝑓0= 0, 𝑓1= 1 
9. 
   
10. A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos. 

11. Historia

    Mucho antes de ser conocida en occidente, la sucesión de Fibonacci ya estaba descrita en la Matemática en la India, en conexión con la prosodia sánscrita. Susantha Goonatilake hace notar que el desarrollo de la secuencia de Fibonacci «es atribuido en parte a Pingala (año 200), posteriormente asociado con Virahanka (hacia el año 700), Gopāla (hacia 1135), y Hemachandra (hacia 1150)». Parmanand Singh cita a Pingala (hacia 450) como precursor en el descubrimiento de la secuencia. La sucesión fue descrita y dada a conocer en occidente por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: «Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir».

    Número de Mes	Explicación de la genealogía	Parejas de conejos
    Comienzo del mes 1	Nace una pareja de conejos (pareja A).	1 pareja en total.
    Fin del mes 1	La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.	1+0=1 pareja en total.
    Fin del mes 2	La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.	1+1=2 parejas en total.
    Fin del mes 3	La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.	2+1=3 parejas en total.
    Fin del mes 4	Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.	3+2=5 parejas en total.
    Fin del mes 5	A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.	5+3=8 parejas en total.
    Fin del mes 6	A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.	8+5=13 parejas en total.
    ...	...	...

    Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.
    De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.
    También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos ${\displaystyle f_{n+1}/f_{n}}$ se acerca a la relación áurea fi cuando ${\displaystyle n}$ tiende a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta sucesión tuvo popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

12. La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

    


13. La sucesión de Fibonacci aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles, en las inflorescencias del brécol romanesco y en la configuración de las piñas de las coníferas. De igual manera, se encuentra en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como el nautilus.

14. Propiedades de la sucesión de Fibonacci



• La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. 


• Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. 


• Sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. 


• Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. 


• Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces este número menos el número 2 posiciones más atrás. 


• La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n+2 menos uno. 


• El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. 


• Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. 


• La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie. 


• El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 10 números. Los dos últimos, cada 300. Y continúan repitiéndose cada 15𝑥10 𝑛−1 números.

15. Presentación



Sucesion de fibonacci de DavidReolidRoldn1



16. Referencias/Bibliografía

17. Wikipedia.
18.